配方法是一种解一元二次方程的方法,主要通过将方程配成完全平方的形式来求解。以下是配方法的步骤:
转化
将一元二次方程化为一般形式,即 $ax^2 + bx + c = 0$(其中 $a \neq 0$)。
移项
将常数项 $c$ 移到等式的右边,得到 $ax^2 + bx = -c$。
系数化1
如果二次项系数 $a$ 不为1,则将方程的两边同时除以 $a$,使得二次项系数为1。同时,将常数项移到等式的右边,得到 $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$。
配方
在等式的两边同时加上一次项系数 $\frac{b}{a}$ 的一半的平方,即 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$。这样左边会配成一个完全平方,右边则化为一个常数项。具体计算为:
$$
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2
$$
左边可以写成完全平方的形式:
$$
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
$$
开平方求解
对等式的两边同时开平方,得到:
$$
x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}
$$
最后,解出 $x$ 的值:
$$
x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
注意事项
在配方法的运用过程中,要保证等式同除以或者是同时加减,保证等式的平衡性,以减少错误率。
如果右边是一个负数,则方程有一对共轭虚根;如果右边是非负数,则方程有两个实根。
通过以上步骤,我们可以将一元二次方程配成完全平方的形式,并利用直接开平方法求解。