有界数列不一定收敛。有界性是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。也就是说，如果一个数列收敛，那么它必定是有界的；但是，如果一个数列有界，并不意味着它一定收敛。
例如，考虑数列{（-1）^n}，这个数列中的项在-1和1之间摆动，因此它是有界的，但它不是收敛的，因为它没有趋向于一个特定的值。另一个例子是数列{（-1）^n * n}，这个数列同样是有界的，并且是发散的，因为它在正负无穷之间摆动。
然而，存在特殊情况，即单调有界数列，这样的数列是收敛的。单调有界数列收敛定理说明，如果一个数列是单调的并且有界，那么这个数列必定收敛。
总结一下：
有界数列不一定收敛。
收敛数列必定有界。
单调有界数列必定收敛。
有界但不是单调的数列可能发散