在看守所最多羁押的时间可以超过 2年1个月。具体计算方式如下：
刑事拘留阶段：
公安机关对犯罪嫌疑人的拘留期限不得超过三十天。在这三十天后，即第三十一天至第三十七天，公安机关会将案件移送至检察院进行报捕。此时并不移送案卷，案件仍处于侦查阶段，这个阶段被称为“黄金三十七天”。
检察院批捕阶段：
如果检察院批准逮捕，那么公安机关的侦查期限将继续延长，最长可达七个月。加上前面的三十七天，总共就是八个月零七天。
检察院审查起诉阶段：
当公安机关在这七个月内完成侦查并将案件移送至检察院审查起诉时，检察院的审查起诉期限最长可达六个半月。
法院审理阶段：
一审的最长期限可以达到四个月。将这个时间段与前面的十四个月零二十二天相加，犯罪嫌疑人最长可能在看守所被羁押超过两年一个月的时间，甚至还要多几天。
因此，综合各个阶段的羁押期限，犯罪嫌疑人最长可能在看守所被羁押超过两年一个月的时间。需要注意的是，这个时间是根据一般情况下的法律规定和计算方式得出的，实际情况可能会因案件的具体情况和司法程序的不同而有所变化。