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三阶伴随矩阵怎么求

原创2025-06-20 10:10:43

三阶伴随矩阵的求法如下:

求各代数余子式

对于矩阵中的每个元素 `aij`,计算其代数余子式 `Aij`。

对于主对角线上的元素 `a11, a22, a33`,代数余子式是去掉该元素所在的行和列后剩余矩阵的行列式。

对于非主对角线上的元素 `a12, a13, a21, a23, a31, a32`,代数余子式是去掉该元素所在的行和列后剩余矩阵的行列式乘以 `(-1)^(i+j)`,其中 `i` 和 `j` 分别是元素的行号和列号。

构造伴随矩阵

将计算出的代数余子式按照原矩阵的位置排列,形成伴随矩阵。

转置得到伴随矩阵

将伴随矩阵转置,得到最终的三阶伴随矩阵。

例如,对于三阶矩阵:

```

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

```

其伴随矩阵的求法如下:

`A11 = (-1)^2 * (a22 * a33 - a23 * a32)`

`A12 = (-1)^3 * (a21 * a33 - a23 * a31)`

`A13 = (-1)^4 * (a21 * a32 - a22 * a31)`

`A21 = (-1)^3 * (a12 * a33 - a13 * a32)`

`A22 = (-1)^4 * (a11 * a33 - a13 * a31)`

`A23 = (-1)^5 * (a11 * a32 - a12 * a31)`

`A31 = (-1)^5 * (a12 * a23 - a13 * a22)`

`A32 = (-1)^6 * (a11 * a23 - a13 * a21)`

`A33 = (-1)^7 * (a11 * a22 - a12 * a21)`

然后,将这些代数余子式按照原矩阵的位置排列,并转置得到伴随矩阵。

需要注意的是,三阶伴随矩阵的每个元素 `Aij` 是 `(-1)^(i+j)` 乘以去掉 `aij` 所在行和列后的二阶行列式。

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