当失业人员在领取失业保险金期间找到新工作时，应该立即停止领取失业保险金，并前往社会保险经办机构办理相关手续。具体步骤如下：
及时告知：
失业人员找到新工作后，应及时主动告知社会保险经办机构，并办理失业金中断手续。
停止发放：
经办机构将停止发放剩余的失业保险金，但会保留剩余期限。
社保缴纳：
中断失业金领取后，失业人员才能在新单位重新缴纳社会保险。
法律责任：
如果未及时告知经办机构而继续领取失业金，可能会面临法律责任，包括退还已领取的失业金和可能的罚款。
合并计算：
如果失业人员再次失业且符合领取条件，之前未领完的失业保险金可以与新的失业保险金领取期限合并计算，但总领取期限最长不得超过24个月。
请根据当地的具体规定和流程操作，并咨询当地社会保险经办机构以获得最准确的信息和指导