求函数的凹凸区间通常涉及以下步骤：
求一阶导数
首先，需要求出给定函数的一阶导数。一阶导数可以帮助我们了解函数的变化率。
求二阶导数
接着，对一阶导数再次求导，得到二阶导数。二阶导数对于判断函数的凹凸性至关重要。
确定二阶导数的符号
分析二阶导数的正负性：
- 如果二阶导数在某区间内大于0，则该区间为函数的凹区间。
- 如果二阶导数在某区间内小于0，则该区间为函数的凸区间。
- 如果二阶导数在某点为零，则需要进一步检查该点的左右极限，以确定是否为拐点。
求拐点
拐点是指二阶导数从正变负或从负变正的点，或者二阶导数不存在的点。
令二阶导数等于0，解方程找到可能的拐点位置。
检查这些点附近的二阶导数符号是否发生变化，若变化则该点为拐点。
构建凹凸性符号变化表
列出二阶导数的符号变化，以清晰地标识出函数的凹区间和凸区间。
示例
假设我们要求函数 $y = x^3 - x^4$ 的凹凸区间和拐点。
求一阶导数
$$
y' = \frac{d}{dx}（x^3 - x^4） = 3x^2 - 4x^3
$$
求二阶导数
$$
y'' = \frac{d}{dx}（3x^2 - 4x^3） = 6x - 12x^2
$$
确定二阶导数的符号
令 $y'' = 0$，解得 $x = 0$ 或 $x = \frac{1}{2}$。
检查 $x = 0$ 附近的符号：
当 $x < 0$ 时，$y'' = 6x - 12x^2 < 0$，函数是凸的。
当 $0 < x < \frac{1}{2}$ 时，$y'' = 6x - 12x^2 > 0$，函数是凹的。
当 $x > \frac{1}{2}$ 时，$y'' = 6x - 12x^2 < 0$，函数是凸的。
因此，$x = 0$ 是拐点，$x = \frac{1}{2}$ 也是拐点。
构建凹凸性符号变化表
凹区间：$（0, \frac{1}{2}）$
凸区间：$（-\infty, 0）$, $（\frac{1}{2}, +\infty）$
通过以上步骤，我们可以清晰地确定函数的凹凸区间和拐点。