函数的有界性是数学中一个重要的概念，它描述了一个函数在其定义域内的取值范围是否有限。具体来说，如果存在两个常数M和N，使得函数f（x）在其定义域内的所有值都满足：
上界条件：
对于所有x属于函数的定义域，有f（x） ≤ M。这意味着函数的值不会超过M。
下界条件：
对于所有x属于函数的定义域，有f（x） ≥ N。这意味着函数的值不会低于N。
当函数同时满足上界和下界条件时，我们称该函数为 有界函数。如果函数不满足这两个条件中的任何一个，则称为 无界函数。
例子
有界函数：y = sin x，其取值范围是[-1, 1]，因此它是有界的。
无界函数：y = x，其取值范围是全体实数R，因此它是无界的。
判定方法
绝对值法：
如果存在一个正数M，使得对于所有x，都有|f（x）| ≤ M，则函数f（x）是有界的。
上下界法：
如果存在两个常数m和M，使得对于所有x，都有m ≤ f（x） ≤ M，则函数f（x）是有界的。
运算规则
有界函数与有界函数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是有界的，前提是运算的结果不超过原函数的上界和下界。
无界函数与有界函数的运算结果可能是无界的。
几何意义
从几何的角度来看，函数的有界性意味着其图像在坐标系中被限制在一个有限的区域内，不会无限延伸。例如，y = sin x的图像在y轴上被限制在[-1, 1]之间。
建议
在学习和应用函数的有界性时，可以通过具体的例子来加深理解，并掌握如何运用绝对值法和上下界法来判断一个函数是否有界。这对于理解函数的性质和解决实际问题都是非常重要的。