判断一个数列或级数是否收敛，通常有以下几种方法：
极限定义法
如果对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n > N时，数列的项与某个特定值L的差值小于ε，则称该数列收敛于L。
柯西收敛准则
对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，对于任意大于N的自然数m和n，当n和m足够大时，数列中第n个元素与第m个元素之间的差值小于ε。
单调有界原理
如果一个数列是单调递增的且有上界，或者单调递减的且有下界，那么这个数列是收敛的。
比较原则
如果一个数列的每一项都不超过另一个已知收敛数列的对应项，并且原数列的项非负，则原数列也收敛。
比式判别法
对于正项数列，如果极限 \（\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = q \），当q < 1时，数列收敛。
根式判别法
适用于含有n次方的级数，通过比较级数的通项与某个已知收敛级数的通项的n次方根来进行判断。
学习曲线图
观察梯度下降算法迭代过程中成本函数值的变化，如果成本值随着迭代次数增加而减少并趋于稳定，则算法收敛。
绝对收敛测试
对级数的每一项取绝对值得到一个新的级数，如果新级数收敛，则原级数绝对收敛。
直接比较法
如果原级数的每一项都不超过一个已知绝对收敛级数的对应项的绝对值，则原级数绝对收敛。
交错级数判别法 （如莱布尼茨判别法）：
对于交错级数，如果项递减至0，则级数收敛。
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
适用于某些特殊的级数，如某些无穷级数，可以根据级数的性质进行判断。
以上方法可以单独使用，也可以结合使用，以适应不同类型的数列或级数。需要注意的是，收敛性的判断可能涉及复杂的数学推导和计算，有时需要借助计算工具或软件来完成