求矩阵的特征向量通常遵循以下步骤:
计算特征多项式
首先,根据特征向量的定义,我们需要解特征方程 \( |A - \lambda E| = 0 \),其中 \( A \) 是给定的矩阵,\( \lambda \) 是特征值,\( E \) 是单位矩阵。
解特征方程
求解上述特征方程,得到特征值 \( \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \)。
求特征向量
对于每一个特征值 \( \lambda_i \),解齐次线性方程组 \( (A - \lambda_i E)x = 0 \)。这个方程组的基础解系就对应于特征值 \( \lambda_i \) 的特征向量。
非零线性组合
特征向量不是唯一的,任何非零标量倍数的特征向量也是特征向量。因此,特征向量可以表示为基础解系的线性组合。
特征向量在矩阵分析和线性代数中非常重要,它们在物理学、工程学、计算机科学等领域有广泛的应用。