求幂级数的和函数通常有以下几种方法：
变量替换法
通过变量替换，可以将复杂的幂级数转化为较简单的幂级数，从而更容易求出其和函数。例如，对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$，令 $t = x^2$，则原级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} t^{\frac{n}{2}}$，这是一个几何级数，其和函数容易求得。
拆项法
将幂级数拆分成两个或多个简单幂级数的和。例如，对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$，可以拆分为 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$，然后分别求出每个简单幂级数的和函数，再通过适当组合得到原幂级数的和函数。
逐项求导法
通过对幂级数逐项求导，可以得到另一个幂级数，其和函数通常比较容易求得。例如，对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$，逐项求导得到 $\sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}$，这是一个等比数列的和，其和函数为 $\frac{1}{（1-x）^2}$。然后通过牛顿-莱布尼兹公式，可以求得原幂级数的和函数为 $\frac{1}{1-x}$。
逐项积分法
通过对幂级数逐项积分，可以得到另一个幂级数，其和函数也通常比较容易求得。例如，对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$，逐项积分得到 $\sum_{n=0}^{\infty} x^{n+1}$，这是一个几何级数，其和函数为 $\frac{x}{1-x}$。然后通过求导数，可以求得原幂级数的和函数为 $\frac{1}{1-x}$。
利用已知的幂级数展开式
对于一些常见的函数，如 $\frac{1}{1-x}$、$e^x$、$\sin x$、$\cos x$、$\ln（1-x）$ 等，可以直接利用已知的幂级数展开式进行求和。例如，$e^x$ 的幂级数展开式为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$，其和函数即为 $e^x$。
利用级数的性质
通过分析幂级数的性质，如收敛性、和函数的连续性等，可以确定和函数在某些点处的取值。例如，对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$，在收敛区间内，其和函数为 $\frac{1}{1-x}$，在收敛区间的端点处，需要单独讨论其取值。
建议
在实际求解过程中，可能需要综合运用上述方法，或者寻求其他方法才能得到问题的解。
注意在求解过程中要特别注意收敛域，确保在收敛区间内进行运算。
对于一些复杂的幂级数，可以考虑使用计算机代数系统（如 Mathematica、Maple 等）进行辅助计算。