三角形的中位线定理可以通过多种方法进行证明，以下是几种常见的证明方法：
方法一：坐标法
设三角形ABC的三个顶点坐标分别为$（x_1, y_1）$, $（x_2, y_2）$, $（x_3, y_3）$，则AB和AC的中点D和E的坐标分别为$\left（\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right）$和$\left（\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right）$。中位线DE的长度为：
$$
DE = \sqrt{\left（\frac{x_2+x_3}{2} - \frac{x_1+x_3}{2}\right）^2 + \left（\frac{y_2+y_3}{2} - \frac{y_1+y_3}{2}\right）^2} = \frac{1}{2}\sqrt{（x_2-x_1）^2 + （y_2-y_1）^2}
$$
即中位线的长度等于其对应边长的一半。
方法二：平行线法
过点C作AB的平行线交DE的延长线于点F，由于CF∥AD，根据平行线的性质，∠A=∠ACF。又因为AE=CE且∠AED=∠CEF，所以根据SAS全等条件，△ADE≌△CFE，从而DE=EF=1/2DF。由于AD=BD，所以BD=CF，因此BCFD是平行四边形，DF∥BC且DF=BC，所以DE=1/2BC。
方法三：截长补短法
延长DE到点G，使EG=DE，连接CG。由于CG∥AD，根据平行线的性质，∠A=∠ACG。又因为∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG，所以根据SAS全等条件，△ADE≌△CGE，从而AD=CG。由于D为AB中点，所以AD=BD，因此BD=CG。由于BD∥CG，所以BCGD是平行四边形，DG∥BC且DG=BC，因此DE=DG/2=BC/2。
方法四：相似法
由于D是AB中点，所以AD:AB=1:2；E是AC中点，所以AE:AC=1:2。又因为∠A=∠A，所以△ADE∽△ABC，从而DE/BC=AD/AB=1/2，即∠ADE=∠ABC。因此，DF∥BC且DE=1/2BC。
结论
通过上述方法，可以证明三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。这一结论在几何学中有着广泛的应用。