根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，犯罪嫌疑人被拘留后，通常可以在以下时间节点申请取保候审：
24小时后开始申请：
公安机关在拘留犯罪嫌疑人后，应在24小时内进行讯问，之后犯罪嫌疑人或其法定代理人、近亲属或辩护人可以提出取保候审的申请。
7天内和37天内：
在实际操作中，被刑事拘留后办理取保候审的最佳时期通常是在被刑拘后的七天内和三十七天内。
最长不超过12个月：
依据《刑事诉讼法》第七十九条的规定，对犯罪嫌疑人、被告人进行取保候审，最长不得超过十二个月。
特殊情况下的审查时间延长：
在特殊情况下，办案机关对取保候审申请的审查时间可以延长，但不得超过30日。
需要注意的是，虽然法律对具体的时间节点没有明确规定，但根据刑事司法实践，在犯罪嫌疑人被刑事拘留期间，特别是在所谓的“黄金37天”内，是申请取保候审的关键时期。