双重积分的计算方法主要分为以下几种：
直角坐标系中的计算
确定积分区域：首先需要确定积分的平面区域，通常可以用一个闭合区域表示，如矩形、三角形、梯形等。
设定积分顺序：根据具体情况选择先对哪个变量进行积分，如先对x积分（先x后y）或先对y积分（先y后x）。
设置积分限：根据积分区域的几何特征确定积分的上下限。例如，若先对x积分，则上限为x的取值范围，下限为某个函数值；若先对y积分，则上限为y的取值范围，下限为某个函数值。
计算内层积分：对一个变量进行定积分，保持另一个变量不变。
计算外层积分：在内层积分结果的基础上，对另一个变量再进行定积分。
极坐标系中的计算
适用情况：当被积函数出现$x^2+y^2$时，使用极坐标计算会更方便。极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，且面积元为$dA = r dr d\theta$。
转换被积函数：将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$f（x,y）$转换为$f（r\cos\theta, r\sin\theta）$。
确定积分区域：在极坐标系中，积分区域通常表示为$r$和$\theta$的范围，如$r$从0到某个值，$\theta$从0到$2\pi$。
设置积分限：根据积分区域的几何特征确定$r$和$\theta$的积分限。
计算积分：先对$r$进行积分，再对$\theta$进行积分，积分表达式中需要代入转换后的被积函数和积分限。
换元法
适用情况：当积分区域或函数形式较复杂时，可以通过换元法简化计算。常见的换元方法包括三角换元、柱坐标换元等。
选择换元方式：根据积分区域和函数的特点选择合适的换元方式，如将$x$和$y$换为新的变量$u$和$v$。
确定新的积分限：根据换元后的变量确定新的积分上下限。
计算积分：按照新的变量进行积分计算。
示例
设有一个矩形区域$D$，其边界为$a \leq x \leq b$，$c \leq y \leq d$，且被积函数为$f（x,y）$，则二重积分的计算步骤如下：
确定积分区域：
$D$的边界为$a \leq x \leq b$，$c \leq y \leq d$。
设定积分顺序：
选择先对$x$积分（先x后y）。
设置积分限：
$x$的积分限为$a$到$b$，$y$的积分限为$c$到$d$。
计算内层积分：
对$x$进行积分，即$\int_{a}^{b} f（x,y） dx$。
计算外层积分：
在内层积分结果的基础上，对$y$进行积分，即$\int_{c}^{d} \left（ \int_{a}^{b} f（x,y） dx \right） dy$。
通过以上步骤，可以求得二重积分的数值。
建议
选择合适的坐标系：根据积分区域和函数的特点选择直角坐标系或极坐标系进行计算，以提高计算效率。
利用对称性：观察积分区域是否具有对称性，利用对称性简化计算。
分步计算：将二重积分化为累次积分进行计算，逐步求解。