联合密度函数（Joint Density Function, JDF）的求解方法主要取决于随机变量X和Y是否相互独立。以下是不同情况下联合密度函数的求解方法：
随机变量X和Y相互独立
如果X和Y是相互独立的随机变量，那么它们的联合密度函数等于各自边缘密度函数的乘积，即：
\[ f（x,y） = f_X（x） \cdot f_Y（y） \]
其中，\（ f_X（x） \） 和 \（ f_Y（y） \） 分别是X和Y的边缘密度函数。
随机变量X和Y不独立
如果X和Y不是相互独立的随机变量，那么联合密度函数不能简单地通过边缘密度函数的乘积来求得。在这种情况下，必须知道条件密度函数 \（ f_{X|Y}（x|y） \） 或 \（ f_{Y|X}（y|x） \），联合密度函数可以表示为：
\[ f（x,y） = f_{X|Y}（x|y） \cdot f_Y（y） \]
或者
\[ f（x,y） = f_{Y|X}（y|x） \cdot f_X（x） \]
其中，\（ f_{X|Y}（x|y） \） 表示在Y给定的条件下X的条件密度函数，反之亦然。
求解步骤
确定随机变量的独立性
首先需要判断随机变量X和Y是否相互独立。如果独立，直接使用公式 \（ f（x,y） = f_X（x） \cdot f_Y（y） \）。如果不独立，需要进一步计算条件密度函数。
计算边缘密度函数
如果X和Y的联合密度函数已知，可以通过对联合密度函数关于一个变量积分来求得边缘密度函数。例如，求得 \（ f_X（x） \） 的公式为：
\[ f_X（x） = \int_{-\infty}^{\infty} f（x,y） \, dy \]
计算条件密度函数 （如果需要）：如果X和Y不独立，需要计算条件密度函数 \（ f_{X|Y}（x|y） \） 或 \（ f_{Y|X}（y|x） \），然后使用公式 \（ f（x,y） = f_{X|Y}（x|y） \cdot f_Y（y） \） 或 \（ f（x,y） = f_{Y|X}（y|x） \cdot f_X（x） \）。
应用积分求联合密度函数
对于具体的联合密度函数求解，通常需要将联合密度函数代入到积分中，计算双重积分来求得特定区域内的概率或期望值等。例如，求期望值E（Y）的公式为：
\[ E（Y） = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} y \cdot f（x,y） \, dx \, dy \]
示例
假设有两个随机变量X和Y，它们的联合密度函数为：
\[ f（x,y） = \begin{cases}
2xy & \text{if } 0 < x < 1 \text{ and } 0 < y < 1 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases} \]
计算边缘密度函数
对Y积分：
\[ f_X（x） = \int_{0}^{1} 2xy \, dy = x \]
对X积分：
\[ f_Y（y） = \int_{0}^{1} 2xy \, dx = y \]
验证独立性
由于 \（ f（x,y）
eq f_X（x） \cdot f_Y（y） \），所以X和Y不独立。
计算条件密度函数（如果需要）：
由于X和Y不独立，条件密度函数无法直接通过公式求得，需要使用联合密度函数和边缘密度函数来计算。
通过以上步骤，可以求得联合密度函数及其相关概率和统计量。