一天24小时内，时针和分针互相垂直的次数是44次。这个计算考虑了以下情况：
1. 每小时时针和分针会垂直两次，但由于在3点、9点、15点、21点时，时针和分针正好成90度角，在这些时间点之间，它们只会垂直一次。
2. 因此，在2点到3点、3点到4点、8点到9点、14点到15点、20点到21点这些小时内，时针和分针只会垂直一次，而不是两次。
3. 从0点到12点，时针和分针会垂直22次，从12点到24点（即0点）又会垂直22次，总共是44次。
这个计算基于时钟的运作原理，即时针和分针以不同的速度移动，并且分针每小时会跨过时针一次。在跨过的过程中，分针和时针会有两次机会形成90度的垂直角度，但在上述提到的特殊时间点，它们只会形成一次垂直角度。