拉格朗日函数是通过引入拉格朗日乘数法来构造的，主要用于将有条件极值问题转化为无条件极值问题。以下是构造拉格朗日函数的基本步骤：
定义原函数和约束条件
设原函数为 \（ f（x, y） \），约束条件为 \（ g（x, y） = 0 \）。
引入拉格朗日乘数
引入一个或多个拉格朗日乘数 \（ \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \），分别对应每个约束条件。
构造拉格朗日函数
将原函数和所有约束条件通过拉格朗日乘数相乘并相加，得到拉格朗日函数 \（ L（x, y, \lambda） \）：
\[
L（x, y, \lambda） = f（x, y） + \lambda_1 g_1（x, y） + \lambda_2 g_2（x, y） + \ldots + \lambda_n g_n（x, y）
\]
其中 \（ g_1（x, y）, g_2（x, y）, \ldots, g_n（x, y） \） 是约束条件 \（ g（x, y） = 0 \） 的具体形式。
求导并解方程组
对拉格朗日函数 \（ L（x, y, \lambda） \） 分别对 \（ x, y, \lambda \） 求偏导数，得到方程组：
\[
\frac{\partial L}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0
\]
解这个方程组，得到所有可能的极值点。
示例
假设我们要找函数 \（ f（x, y） = x^2 + y^2 \） 在约束条件 \（ g（x, y） = x^2 + y^2 - 1 = 0 \） 下的极值。
定义原函数和约束条件
原函数： \（ f（x, y） = x^2 + y^2 \）
约束条件： \（ g（x, y） = x^2 + y^2 - 1 = 0 \）
引入拉格朗日乘数
假设引入一个拉格朗日乘数 \（ \lambda \）。
构造拉格朗日函数
拉格朗日函数：
\[
L（x, y, \lambda） = x^2 + y^2 + \lambda （x^2 + y^2 - 1）
\]
求导并解方程组
对 \（ L（x, y, \lambda） \） 分别对 \（ x, y, \lambda \） 求偏导数：
\[
\frac{\partial L}{\partial x} = 2x + 2\lambda x = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial y} = 2y + 2\lambda y = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - 1 = 0
\]
解这个方程组：
\[
x（1 + \lambda） = 0, \quad y（1 + \lambda） = 0, \quad x^2 + y^2 = 1
\]
得到 \（ x = 0, y = 0, \lambda = -1 \） 或 \（ x = 0, y = 0, \lambda = 1 \）。
通过以上步骤，我们可以构造出拉格朗日函数并找到原问题的极值点。