收敛和发散是数学中用来描述序列或函数极限行为的术语。以下是判断序列或函数是否收敛或发散的一些基本方法：
收敛的判断
极限存在性
如果序列或函数的极限存在且有限，则序列或函数收敛。
对于数列，如果存在常数 \（a\），对于任意给定的正数 \（q\）（无论多小），总存在正整数 \（N\），使得当 \（n > N\） 时，有 \（|X_n - a| < q\），则数列收敛于 \（a\）。
级数收敛性
如果级数的部分和序列有上界，则级数收敛。
对于正项级数，如果满足比较原则、比式判别法或根式判别法之一，则级数收敛。
单调有界准则
如果函数单调递增或递减，并且有界，则函数收敛。
导数法
如果函数的导数在某区间内存在且有限，则函数在该区间内收敛。
发散的判断
极限不存在性
如果序列或函数的极限不存在或者是无穷大，则序列或函数发散。
级数发散性
如果级数的部分和序列无上界，则级数发散。
无界性
如果函数单调递增或递减，并且无界，则函数发散。
反例
调和级数 \（\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\） 是发散的，因为其部分和序列无上界。
其他注意事项
收敛数列的极限是唯一的，且有界，并满足保号性。
发散的级数项不会趋于零。
以上方法可以帮助判断序列或函数的收敛性。需要注意的是，有些情况下，直接计算极限可能比较困难，这时可以使用一些判别法或性质来简化判断过程。