常熟市居民可以在以下地点办理健康证：
1. 常熟市中医院（常熟市新区医院）
地址：常熟市黄河路6号
2. 常熟市第五人民医院
地址：常熟市珠江路289号
3. 常熟市梅李人民医院
地址：常熟市梅李镇人民路5号
4. 常熟市海虞卫生院
地址：常熟市海虞镇通江路31号
5. 常熟市疾病预防控制中心
地址：常熟市虞山镇富阳路6号业务楼底楼
6. 各乡镇防保所
办理健康证通常需要进行一系列的健康体检，包括内科、外科、五官科、胸部X光片检查、肝功能等项目。体检合格后，由体检机构出具健康证明，申请人凭借该证明到指定的卫生健康行政部门办理健康证。
请注意，具体的办理流程、时间和费用可能会有所变动，建议提前通过官方渠道或电话咨询最新信息。