驻点是函数的一阶导数为零的点,也称为临界点或稳定点。求驻点的方法通常包括以下步骤:
求导数
首先,需要求出给定函数的一阶导数。
对于单变量函数,一阶导数即为该函数的导数。
对于多元函数,需要分别求出各个自变量对应的偏导数。
令导数为零
将求出的一阶导数(或偏导数)令为零,得到方程。
对于单变量函数,方程形式为 \( f'(x) = 0 \)。
对于多元函数,方程形式为 \( f_x(x, y) = 0 \) 和 \( f_y(x, y) = 0 \)。
解方程
解上述方程,求出自变量 \( x \) 和 \( y \) 的值。
对于单变量函数,解出 \( x \) 的值。
对于多元函数,解出 \( x \) 和 \( y \) 的组合。
验证驻点
验证解是否确实使一阶导数为零。
有时候需要检查二阶导数(或偏导数)来确定驻点是极大值点、极小值点还是鞍点。
示例
单变量函数
假设函数为 \( f(x) = x^3 - 4x + 3 \),求其驻点:
1. 求导数:
\[ f'(x) = 3x^2 - 4 \]
2. 令导数为零:
\[ 3x^2 - 4 = 0 \]
3. 解方程:
\[ x^2 = \frac{4}{3} \]
\[ x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \]
所以,函数 \( f(x) = x^3 - 4x + 3 \) 的驻点为 \( x = \frac{2}{\sqrt{3}} \) 和 \( x = -\frac{2}{\sqrt{3}} \)。
多元函数
假设函数为 \( f(x, y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x \),求其驻点:
1. 求偏导数:
\[ f_x(x, y) = 3x^2 + 6x - 9 \]
\[ f_y(x, y) = -3y^2 + 6y \]
2. 令偏导数为零:
\[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \]
\[ -3y^2 + 6y = 0 \]
3. 解方程:
\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
\[ (x + 3)(x - 1) = 0 \]
\[ x = -3, x = 1 \]
\[ -3y^2 + 6y = 0 \]
\[ -3y(y - 2) = 0 \]
\[ y = 0, y = 2 \]
所以,函数 \( f(x, y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x \) 的驻点为 \( (-3, 0) \),\( (1, 0) \),\( (-3, 2) \) 和 \( (1, 2) \)。
建议
在求解驻点时,务必仔细检查计算过程,确保导数确实为零。
对于多元函数,需要同时考虑所有偏导数,并验证解是否满足所有方程。
有时候需要进一步分析二阶导数来确定驻点的性质(如极大值、极小值或鞍点)。