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驻点怎么求

原创2025-06-20 16:23:12

驻点是函数的一阶导数为零的点,也称为临界点或稳定点。求驻点的方法通常包括以下步骤:

求导数

首先,需要求出给定函数的一阶导数。

对于单变量函数,一阶导数即为该函数的导数。

对于多元函数,需要分别求出各个自变量对应的偏导数。

令导数为零

将求出的一阶导数(或偏导数)令为零,得到方程。

对于单变量函数,方程形式为 \( f'(x) = 0 \)。

对于多元函数,方程形式为 \( f_x(x, y) = 0 \) 和 \( f_y(x, y) = 0 \)。

解方程

解上述方程,求出自变量 \( x \) 和 \( y \) 的值。

对于单变量函数,解出 \( x \) 的值。

对于多元函数,解出 \( x \) 和 \( y \) 的组合。

验证驻点

验证解是否确实使一阶导数为零。

有时候需要检查二阶导数(或偏导数)来确定驻点是极大值点、极小值点还是鞍点。

示例

单变量函数

假设函数为 \( f(x) = x^3 - 4x + 3 \),求其驻点:

1. 求导数:

\[ f'(x) = 3x^2 - 4 \]

2. 令导数为零:

\[ 3x^2 - 4 = 0 \]

3. 解方程:

\[ x^2 = \frac{4}{3} \]

\[ x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \]

所以,函数 \( f(x) = x^3 - 4x + 3 \) 的驻点为 \( x = \frac{2}{\sqrt{3}} \) 和 \( x = -\frac{2}{\sqrt{3}} \)。

多元函数

假设函数为 \( f(x, y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x \),求其驻点:

1. 求偏导数:

\[ f_x(x, y) = 3x^2 + 6x - 9 \]

\[ f_y(x, y) = -3y^2 + 6y \]

2. 令偏导数为零:

\[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \]

\[ -3y^2 + 6y = 0 \]

3. 解方程:

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

\[ (x + 3)(x - 1) = 0 \]

\[ x = -3, x = 1 \]

\[ -3y^2 + 6y = 0 \]

\[ -3y(y - 2) = 0 \]

\[ y = 0, y = 2 \]

所以,函数 \( f(x, y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x \) 的驻点为 \( (-3, 0) \),\( (1, 0) \),\( (-3, 2) \) 和 \( (1, 2) \)。

建议

在求解驻点时,务必仔细检查计算过程,确保导数确实为零。

对于多元函数,需要同时考虑所有偏导数,并验证解是否满足所有方程。

有时候需要进一步分析二阶导数来确定驻点的性质(如极大值、极小值或鞍点)。

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