根据提供的信息，额济纳旗胡杨林的最佳观赏期一般在每年的秋季，具体时间为9月下旬至10月中旬。以下是详细的最佳观赏时间：
9月下旬至10月上旬：这段时间内，胡杨林的叶子开始逐渐变黄，是观赏胡杨林美景的起始阶段。
10月5日前后：国庆节前后是胡杨林景色最为壮观的时期，游客众多，适合喜欢热闹和摄影的游客。
10月10日至15日：避开国庆高峰期，游客相对较少，可以更悠闲地欣赏胡杨林的美丽。
10月20日左右：胡杨林的叶子大多变成金黄色，是观赏胡杨林最美的时段之一。
10月25日之后：胡杨林逐渐进入尾期，叶子可能会因风力作用而快速掉落。
选择何时前往，还需考虑个人假期安排和天气状况。建议关注天气预报，选择天气晴朗的日子前往，以获得最佳的观赏体验