要证明根号3是无理数，我们可以使用反证法。以下是证明过程：
假设根号3是有理数
假设根号3可以表示为两个互质整数p和q的比值，即 \（ \sqrt{3} = \frac{p}{q} \），其中p和q互质，即它们的最大公约数为1。
推导矛盾
根据这个假设，我们可以将等式两边平方，得到 \（ 3 = \frac{p^2}{q^2} \）。这意味着 \（ p^2 = 3q^2 \）。
由于3是质数，如果 \（ p^2 \） 能被3整除，那么 \（ p \） 也必须能被3整除。我们可以设 \（ p = 3k \），其中k是某个整数。将这个表达式代入上面的等式，我们得到 \（ 3q^2 = 9k^2 \）。
简化得到 \（ q^2 = 3k^2 \）。这意味着 \（ q^2 \） 也能被3整除，所以 \（ q \） 也必须能被3整除。
但是，根据我们的初始假设，p和q是互质的，即它们不应该有除了1以外的公约数。然而，我们已经证明了如果 \（ \sqrt{3} \） 是有理数，那么p和q都必须能被3整除，这与它们互质的假设矛盾。
得出结论
由于我们推导出了矛盾，我们的初始假设——根号3是有理数——必须是错误的。因此，根号3必须是无理数。