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协方差怎么计算

原创2025-06-20 07:20:16

协方差是衡量两个随机变量之间线性关系强度的统计量。它的计算公式是:

```

Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]

```

其中:

`E[X]` 和 `E[Y]` 分别表示随机变量 `X` 和 `Y` 的期望值。

`E[(X - E[X])(Y - E[Y])]` 是 `X` 和 `Y` 的协方差的期望值。

如果 `X` 和 `Y` 是样本数据,则协方差的计算公式为:

```

Cov(X, Y) = Σ((xi - x̄) * (yi - ȳ)) / (n - 1)

```

其中:

`xi` 和 `yi` 是样本数据点。

`x̄` 和 `ȳ` 是样本均值。

`n` 是样本数量。

协方差的值可以是正数、负数或零:

如果 `X` 和 `Y` 的变化趋势一致(即一个大于期望值时另一个也大于期望值,反之亦然),则协方差为正。

如果 `X` 和 `Y` 的变化趋势相反(即一个大于期望值时另一个小于期望值,反之亦然),则协方差为负。

如果 `X` 和 `Y` 相互独立,则协方差为零。

协方差的一个重要特性是它与相关系数有直接的关系,相关系数是协方差除以两个随机变量标准差的乘积:

```

ρ = Cov(X, Y) / (σ_X * σ_Y)

```

其中 `ρ` 是 `X` 和 `Y` 的相关系数,`σ_X` 和 `σ_Y` 分别是 `X` 和 `Y` 的标准差。

需要注意的是,协方差衡量的是两个变量之间的总体误差,而不是单个变量的波动情况。

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