求平面方程的方法主要有以下几种:
截距式
设平面方程为 $Ax + By + Cz + D = 0$,若 $D \neq 0$,则取 $a = -\frac{D}{A}$,$b = -\frac{D}{B}$,$c = -\frac{D}{C}$,得到平面的截距式方程:
$$
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1
$$
该方程与三坐标轴的交点分别为 $P(a, 0, 0)$,$Q(0, b, 0)$,$R(0, 0, c)$,其中 $a, b, c$ 依次称为该平面在 $x, y, z$ 轴上的截距。
点法式
已知平面上的一点 $M(x_0, y_0, z_0)$ 和平面的法向量 $\mathbf{n} = (A, B, C)$,则平面的点法式方程为:
$$
A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0
$$
通过将点 $M$ 代入方程,可以确定常数 $D$:
$$
D = A(x_0) + B(y_0) + C(z_0)
$$
因此,平面方程可以写为:
$$
Ax + By + Cz = D
$$
这种方法适用于已知平面上的一个点和平面的法向量的情况。
一般式
平面方程的一般式为 $Ax + By + Cz + D = 0$,其中 $A, B, C, D$ 为已知常数,并且 $A, B, C$ 不同时为零。
三点求平面
已知平面上的三个不共线的点 $M_1(x_1, y_1, z_1)$,$M_2(x_2, y_2, z_2)$,$M_3(x_3, y_3, z_3)$,则平面的法向量为:
$$
\mathbf{n} = \mathbf{M}_2M_1 \times \mathbf{M}_3M_1
$$
平面的方程为:
$$
A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0
$$
其中 $A, B, C$ 是法向量的分量,可以通过计算向量积得到。
建议
选择哪种方法求平面方程取决于已知条件。如果已知平面上的一点和法向量,使用点法式最为直接。如果已知平面上的三个不共线的点,则可以通过三点求法得到平面方程。截距式适用于需要求平面在坐标轴上截距的情况。一般式则是一种通用的表示方法。