循环群的子群可以通过以下步骤来求得：
确定子群的阶数
子群的阶数必须是群的阶数的因子。
找到所有可能的阶数
对于给定的循环群，找出所有小于群阶数且为群阶数因子的数。
根据拉格朗日定理
子群的阶数必须是群的阶数的因子。
对于循环群 \（ C_n \），如果 \（ d \mid n \），则存在一个子群 \（ C_d \）。
确定生成元
对于每个可能的子群阶数 \（ d \），找到对应的生成元 \（ a^k \），其中 \（ k \） 是使得 \（ a^k \） 的阶为 \（ d \） 的最小正整数。
验证子群
验证由生成元生成的子集是否满足子群的定义，即子集中的任意两个元素的乘积仍在子群中，并且子集包含单位元。
例如，对于循环群 \（ C_n \），如果群的阶数为 \（ n \），那么可能的子群阶数为 \（ n \） 的所有因子。对于每个因子 \（ d \），子群由 \（ a^{n/d} \） 生成，其中 \（ a \） 是群的生成元。
希望这能帮助你理解如何求循环群的子群。