要判断一个多元函数在某一点的偏导数是否连续，可以按照以下步骤进行：
计算偏导数值
使用偏导数的定义，计算函数在指定点的偏导数值。
计算偏导数在邻域内的值
使用偏导数的求导公式，计算函数在指定点邻域内的偏导数值。
求极限
计算偏导数在指定点邻域内的值当点（x, y）趋于该点时的极限。
比较极限值和偏导数值
如果极限值等于在指定点的偏导数值，则偏导数在该点连续；否则，偏导数在该点不连续。
具体来说，对于二元函数 \（ f（x, y） \） 在点 \（（a, b）\） 处的偏导数 \（ f_x（a, b） \） 和 \（ f_y（a, b） \），连续性可以通过以下极限定义来证明：
```
f_x（a, b） = \lim_{h \to 0} \frac{f（a+h, b） - f（a, b）}{h}
f_y（a, b） = \lim_{k \to 0} \frac{f（a, b+k） - f（a, b）}{k}
```
如果对于任意小的正数 \（\epsilon\），存在一个正数 \（\delta\），使得当 \（\sqrt{（x-a）^2 + （y-b）^2} < \delta\） 时，有
```
\left| \frac{f（x, y） - f（a, b）}{x - a} - f_x（a, b） \right| < \epsilon
\left| \frac{f（x, y） - f（a, b）}{y - b} - f_y（a, b） \right| < \epsilon
```
则偏导数 \（ f_x（a, b） \） 和 \（ f_y（a, b） \） 在点 \（（a, b）\） 处连续。
需要注意的是，偏导数的连续性并不保证函数的可微性，但反过来，如果函数在某一点的偏导数连续，则该函数在该点一定是可微的