判断函数的单调性可以通过以下几种方法：
定义法
在指定区间内任取两个数 \（x_1\） 和 \（x_2\），且 \（x_1 < x_2\）。
计算 \（f（x_1）\） 和 \（f（x_2）\） 的差，即 \（f（x_1） - f（x_2）\）。
对差进行变形（如因式分解、配方等），以便判断其正负性。
根据差的正负性，结合单调性的定义，判断函数在该区间内的单调性。
导数法
对函数进行求导，得到导函数。
令导函数等于零，求出可能的极值点（这些点可能是单调性改变的点）。
判断导函数在指定区间内的正负性，从而确定函数的单调性。
图像法
画出函数的图像（或利用已有的图像）。
观察图像在指定区间内的上升或下降趋势。
根据观察结果，判断函数在该区间内的单调性。
复合函数同增异减法
对于复合函数 \（f[g（x）]\），其单调性取决于内层函数 \（g（x）\） 和外层函数 \（f（x）\） 的单调性。
复合函数单调性规律为：“同增异减”，即内外函数单调性相同时为增函数，内外层函数单调性相反时为减函数。
作差法（定义法）
根据增函数、减函数的定义，利用作差法证明函数的单调性。
具体步骤包括取值、作差、变形、判号、定性。
以上方法中，导数法适用于可导函数，图像法直观易懂，定义法适用于所有函数，而作差法是定义法的具体应用。选择合适的方法取决于函数的性质和问题的具体情况