函数 \( f(x) = x \ln x - x + c \) 的导数是 \(\ln x\)。
我们可以通过求导来验证这一点:
使用乘积法则
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x \ln x) - \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(c)
\]
其中,\(\frac{d}{dx}(x \ln x) = x \cdot \frac{1}{x} + \ln x = 1 + \ln x\),\(\frac{d}{dx}(x) = 1\),\(\frac{d}{dx}(c) = 0\)。
因此,
\[
f'(x) = (1 + \ln x) - 1 + 0 = \ln x
\]
通过积分
\[
f(x) = x \ln x - x + c
\]
对两边求导:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x \ln x) - \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(c)
\]
其中,\(\frac{d}{dx}(x \ln x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1\),\(\frac{d}{dx}(x) = 1\),\(\frac{d}{dx}(c) = 0\)。
因此,
\[
f'(x) = (\ln x + 1) - 1 + 0 = \ln x
\]
综上所述,函数 \( f(x) = x \ln x - x + c \) 的导数是 \(\ln x\)。