在周长相等的情况下，圆的面积大于正方形的面积。这一结论可以通过数学公式和几何性质来证明。
对于正方形，设其边长为 \（a\），则周长 \（P = 4a\），面积 \（A_{\text{square}} = a^2\）。
对于圆，设其半径为 \（r\），则周长（即圆的周长） \（P = 2\pi r\），面积 \（A_{\text{circle}} = \pi r^2\）。
若两者周长相等，即：
\[ 4a = 2\pi r \]
解得：
\[ a = \frac{\pi r}{2} \]
将 \（a\） 代入正方形面积公式得：
\[ A_{\text{square}} = \left（\frac{\pi r}{2}\right）^2 = \frac{\pi^2 r^2}{4} \]
比较圆的面积和正方形的面积：
\[ A_{\text{circle}} - A_{\text{square}} = \pi r^2 - \frac{\pi^2 r^2}{4} = r^2 \left（\pi - \frac{\pi^2}{4}\right） = r^2 \frac{4\pi - \pi^2}{4} = r^2 \frac{\pi（4 - \pi）}{4} \]
因为 \（\pi < 4\），所以 \（4 - \pi > 0\），且 \（\pi > 0\），故 \（\pi（4 - \pi） > 0\）。
因此，\（A_{\text{circle}} - A_{\text{square}} > 0\），即圆的面积大于正方形的面积。
这一结论具有一般性，意味着对于任何给定的正周长，圆的面积总是大于相同周长的任何正方形的面积