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无穷小量有哪些

原创2025-06-20 00:22:07

无穷小量是在数学分析中,当自变量趋近于某个值或无穷大时,函数值趋近于0的量。以下是一些常见的等价无穷小量:

1. 当 \( x \to 0 \) 时:

\( \sin x \sim x \)

\( \tan x \sim x \)

\( \arcsin x \sim x \)

\( \arctan x \sim x \)

\( \ln(1 + x) \sim x \)

\( e^x - 1 \sim x \)

\( a^x - 1 \sim x \ln a \quad (a > 0, a \neq 1) \)

\( 1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^2 \)

\( \sec x - 1 \sim \frac{1}{2} x^2 \)

\( \frac{e^x - 1}{x} \sim 1 \)

\( \ln(1 + Bx) \sim Bx \quad (B为常数) \)

2. 当 \( x \to \infty \) 时:

\( x^2 \sim x \quad \text{(当} \quad x \to \infty \text{)} \)

\( x^n \quad \text{(其中} \quad n \quad \text{是任意正整数} \)

请注意,等价无穷小量用于微积分中的计算简化,它们在自变量趋近于特定点或无穷大时,比值的极限为1。

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