无穷小量是在数学分析中,当自变量趋近于某个值或无穷大时,函数值趋近于0的量。以下是一些常见的等价无穷小量:
1. 当 \( x \to 0 \) 时:
\( \sin x \sim x \)
\( \tan x \sim x \)
\( \arcsin x \sim x \)
\( \arctan x \sim x \)
\( \ln(1 + x) \sim x \)
\( e^x - 1 \sim x \)
\( a^x - 1 \sim x \ln a \quad (a > 0, a \neq 1) \)
\( 1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^2 \)
\( \sec x - 1 \sim \frac{1}{2} x^2 \)
\( \frac{e^x - 1}{x} \sim 1 \)
\( \ln(1 + Bx) \sim Bx \quad (B为常数) \)
2. 当 \( x \to \infty \) 时:
\( x^2 \sim x \quad \text{(当} \quad x \to \infty \text{)} \)
\( x^n \quad \text{(其中} \quad n \quad \text{是任意正整数} \)
请注意,等价无穷小量用于微积分中的计算简化,它们在自变量趋近于特定点或无穷大时,比值的极限为1。