求矩阵的零空间通常涉及以下步骤：
将矩阵化为行最简阶梯形式（Reduced Row Echelon Form, RREF）
通过初等行变换（如行交换、行乘以非零常数、行相加）将矩阵A化为行最简阶梯形式。在行最简阶梯形式中，非零行的第一个非零元素（称为该行的主元）的列中，该主元下方的所有元素都为零。
确定自由变量和主变量
在行最简阶梯形式中，自由变量是那些没有对应主元的变量，而主变量是那些有对应主元的变量。
给自由变量赋值
选择一组自由变量并为其赋任意值。通常，为了方便计算，可以选择一个自由变量赋值为1，其余自由变量赋值为0，或者根据具体问题选择合适的赋值。
求特解
将所选的自由变量的值代入行最简阶梯形式的方程组中，求出对应的解，称为特解。
通过特解求零空间
零空间中的任意解都可以表示为特解与零空间基向量的线性组合。因此，通过选择不同的自由变量赋值，可以得到零空间的一组基向量。
示例
假设有一个矩阵A：
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 7 & 10 \end{bmatrix} \]
化为行最简阶梯形式
通过初等行变换，我们得到：
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
确定自由变量和主变量
主变量是第1列和第2列的变量（x1和x2），自由变量是第3列和第4列的变量（x3和x4）。
给自由变量赋值
令x3=1，x4=0，则得到一个特解：
\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
通过特解求零空间
令x3=0，x4=1，则得到另一个特解：
\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \]
零空间的基向量
零空间中的任意解可以表示为上述两个特解的线性组合，即：
\[ x = k_1 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + k_2 \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \]
其中k1和k2是任意常数。
因此，矩阵A的零空间基向量为：
\[ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
和
\[ \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \]
建议
在实际应用中，可以使用数学软件（如MATLAB、Mathematica等）来辅助计算矩阵的行最简阶梯形式和零空间。
零空间的维数等于矩阵的列数减去矩阵的秩，这在行最简阶梯形式中可以直接观察到。