连续函数是数学中的一个基本概念，它描述的是函数值随自变量变化的一种平滑性。具体来说，一个函数 \（ f（x） \） 被称为连续函数，如果它在定义域内的每一点都连续。这意味着当自变量 \（ x \） 接近某一点 \（ x_0 \） 时，函数值 \（ f（x） \） 也会接近 \（ f（x_0） \）。
连续性的定义可以基于极限的概念，具体包括以下几个条件：
1. 函数在点 \（ x_0 \） 处有定义。
2. 当 \（ x \） 趋近于 \（ x_0 \） 时，函数 \（ f（x） \） 的极限存在。
3. 当 \（ x \） 趋近于 \（ x_0 \） 时，函数 \（ f（x） \） 的极限等于函数在该点的值，即 \（\lim_{x \to x_0} f（x） = f（x_0）\）。
如果函数在其整个定义域内每一点都满足上述条件，则该函数被称为连续函数。在直角坐标系中，连续函数的图像是一条没有间断的连续曲线。
需要注意的是，连续性是可导性的必要条件，但并非充分条件。也就是说，如果一个函数在某点可导，则它在该点一定连续；但如果一个函数在某点连续，并不意味着它一定在该点可导。
连续函数在数学、物理、工程、经济等多个领域都有广泛的应用。例如，在物理学中，自由落体的位移随时间的变化就是一个连续函数的例子；在经济学中，成本、收益等经济指标随时间的变化也是连续的