求一个矩阵的初等因子可以通过以下步骤进行：
将矩阵化为Smith对角型
对于一个给定的矩阵多项式 \（ P（x） \），先将其化为Smith对角型 \（ \text{diag}\{d_1（x）, d_2（x）, \ldots, d_r（x）, 0, \ldots, 0\} \），其中每个 \（ d_i \） 都整除 \（ d_{i+1} \）。
这些 \（ d_1（x）, d_2（x）, \ldots, d_r（x） \） 就是矩阵的不变因子。
因式分解不变因子
对这些不变因子在某个给定的域上进行因式分解，得到的形如 \（ p（x）^{k} \） 的因子就是初等因子。
具体地，如果 \（ d_r = p_1（x）^{e_{r1}} \ldots p_m（x）^{e_{rm}} \） 和 \（ d_1 = p_1（x）^{e_{11}} \ldots p_m（x）^{e_{1m}} \），其中 \（ p_i（x） \） 是两两不同的不可约多项式，每个 \（ e_{ij} \） 都是非负整数，那么所有 \（ e_{ij} > 0 \） 对应的因子 \（ p_i（x）^{e_{ij}} \） 就是初等因子。
通过Jordan标准型求初等因子
将 \（ \lambda E - A \） 化为Jordan标准型，即对角矩阵，且对角线上的多项式可以依次整除。
对角线上的多项式就是矩阵 \（ A \） 的不变因子。
将每一个不变因子拆开，就得到了初等因子。
通过初等变换和特征值分解
首先用初等变换将特征矩阵 \（ \lambda E - A \） 化为对角形式。
然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是矩阵的全部初等因子。
建议
在实际应用中，通常先通过矩阵的相似变换（如Jordan标准型）或特征值分解来找到不变因子，然后再对这些不变因子进行因式分解，从而得到初等因子。
确保在因式分解时，所有因子都是互不相同且首项为1的一次因式方幂的乘积，以满足初等因子的定义。