虚根的求解公式适用于二次方程,其一般形式为 $ax^2 + bx + c = 0$,其中 $a, b, c$ 为实数且 $a \neq 0$。当判别式 $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ 时,方程的根为虚数。虚根的求解公式为:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
由于判别式 $\Delta < 0$,根号内将是一个负数。为了处理这个负数,我们引入虚数单位 $i$,其中 $i^2 = -1$。因此,虚根可以表示为:
$$x = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$$
或者更简洁地:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}i}{2a}$$
其中,$\sqrt{b^2 - 4ac}$ 是虚数部分,需要乘以 $i$ 来得到实际的虚数根。
示例
对于方程 $x^2 + x + 1 = 0$,我们有 $a = 1, b = 1, c = 1$。计算判别式:
$$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$$
由于 $\Delta < 0$,方程有两个虚数根。使用虚根公式:
$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}i}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$$
因此,方程的两个虚数根为:
$$x_1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$$
建议
当遇到实系数二次方程且判别式小于零时,可以直接使用上述公式求解虚根。注意虚数根总是成对出现,即如果 $x_1$ 是一个虚数根,那么它的共轭复数 $\overline{x_1} = \frac{-b - i\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 也是方程的根。