在数学中，判断一个数列或函数的极限是收敛还是发散通常依据以下方法：
极限存在性
如果一个数列或函数的极限存在且有限，则该数列或函数收敛。
如果极限不存在或者是无穷大，则数列或函数发散。
级数收敛性
对于级数，如果其部分和序列的极限存在，则级数收敛。
如果部分和序列的极限为无穷大，则级数发散。
单调性与有界性
如果一个函数单调递增或递减且无界，则函数发散。
如果函数单调递增或递减且有界，则函数收敛。
比较判别法
使用比较原则，将待判断的级数与已知的收敛或发散的级数进行比较。
比式判别法
适用于含有阶乘的级数，通过比较级数的通项与某个已知级数的通项。
根式判别法
适用于含有n次方项的级数，通过比较级数的通项的n次方根与某个已知级数的通项的n次方根。
柯西收敛准则
对于函数序列，如果对于任意的正数ε，都存在一个正整数N，使得当m, n > N时，函数的差的绝对值小于ε，则函数序列收敛。
收敛思维与发散思维
虽然这不是一个数学上的直接判断方法，但收敛思维与发散思维在解决问题时具有重要作用，它们相互补充，有助于全面考察问题并找到解决方案。
以上方法可以帮助我们判断数列或函数的极限是收敛还是发散。需要注意的是，有些情况下，直接应用这些方法可能比较困难，这时可能需要使用更高级的数学工具或技巧。