对于n个正数 \（a_1, a_2, \ldots, a_n\），它们的不同平均数有如下的大小关系：
调和平均数 （Harmonic Mean, Hn）:
$$ H_n = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{a_i}}} $$
几何平均数 （Geometric Mean, Gn）:
$$ G_n = \left（\prod_{i=1}^{n}{a_i}\right）^{\frac{1}{n}} $$
算术平均数 （Arithmetic Mean, An）:
$$ A_n = \frac{\sum_{i=1}^{n}{a_i}}{n} $$
平方平均数 （Square Mean, Qn）:
$$ Q_n = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}}{n}} $$
这些平均数满足以下不等式关系：
$$ H_n \leq G_n \leq A_n \leq Q_n $$
等号成立时，意味着所有的数都相等。这个关系可以通过多种数学方法证明，例如使用数学归纳法、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法或柯西不等式法等