要证明一个集合 \（ W \） 是线性空间 \（ V \） 的子空间，需要满足以下两个条件：
加法封闭性 ：对任意的 \（ \alpha, \beta \in W \） 和任意的 \（ k \in P \），有 \（ \alpha + \beta \in W \）。数乘封闭性：
对任意的 \（ \alpha \in W \） 和任意的 \（ k \in P \），有 \（ k\alpha \in W \）。
下面分别给出两个具体的子空间证明例子：
例子1：子空间 \（ U \） 是 \（ \mathbb{R}^3 \） 的子空间
证明
加法封闭性
任取 \（ \alpha = （a_1, a_2, a_3）, \beta = （b_1, b_2, b_3） \in U \） 和任意的 \（ \lambda, \mu \in \mathbb{R} \），
则有 \（ \lambda \alpha + \mu \beta = （\lambda a_1 + \mu b_1, \lambda a_2 + \mu b_2, \lambda a_3 + \mu b_3） \），
因为 \（ a_2 = a_1 + a_3 \） 和 \（ b_2 = b_1 + b_3 \），
所以 \（ \lambda a_2 + \mu b_2 = \lambda （a_1 + a_3） + \mu （b_1 + b_3） = （\lambda a_1 + \mu b_1） + （\lambda a_3 + \mu b_3） \），
于是 \（ \lambda \alpha + \mu \beta \in U \）。
数乘封闭性
任取 \（ \alpha = （a_1, a_2, a_3） \in U \） 和任意的 \（ k \in \mathbb{R} \），
则有 \（ k\alpha = （ka_1, ka_2, ka_3） \），
因为 \（ a_2 = a_1 + a_3 \），
所以 \（ ka_2 = k（a_1 + a_3） = ka_1 + ka_3 \），
于是 \（ k\alpha \in U \）。
因此，集合 \（ U \） 是 \（ \mathbb{R}^3 \） 的子空间。
例子2：子空间 \（ W \） 是 \（ V \） 的子空间
证明：
加法封闭性
设 \（ W \） 是数域 \（ P \） 上的线性空间 \（ V \） 的子集，
对任意的 \（ x, y \in W \） 和任意的 \（ k \in P \），
有 \（ x + ky \in W \）。
数乘封闭性
对任意的 \（ x \in W \） 和任意的 \（ k \in P \），
有 \（ kx \in W \）。
因此，集合 \（ W \） 是 \（ V \） 的子空间。
总结
通过上述两个例子，我们可以看到证明一个集合是线性空间的子空间主要需要验证加法和数乘的封闭性。具体步骤包括：
1. 验证零元素 \（ 0 \） 是否在集合中。
2. 验证任意两个元素的和是否仍在集合中。
3. 验证任意元素与标量的乘积是否仍在集合中。
这些步骤可以确保集合满足子空间的定义，从而证明其是线性空间的子空间。