监狱的管理部门主要是 监狱管理局，而监狱管理局则隶属于司法厅或司法部的领导。具体来说：
监狱的主管部门：
监狱的主管部门是监狱管理局，而监狱管理局是司法系统的一部分。
最高行政主管部门：
监狱的最高行政主管部门是司法部。监狱管理局作为司法部下属的机构，主管全国监狱管理工作。
地方管理：
各省、自治区、直辖市的司法厅（局）主管本行政区域内的监狱工作。例如，省监狱管理局作为省司法厅的直属单位，负责全省监狱的管理。
监狱管理局的职责：
监狱管理局不仅负责监狱的日常管理工作，还负责罪犯的教育改造、维护社会稳定等任务。
综上所述，监狱的管理部门是监狱管理局，而监狱管理局隶属于司法部的领导，地方上则由各省、自治区、直辖市的司法厅（局）具体负责。