证明函数的单调性可以通过以下几种方法：
1. 定义法
取值：在函数的定义域内任取两个数 \（x_1\） 和 \（x_2\），并规定 \（x_1 < x_2\）。
作差：计算 \（f（x_1） - f（x_2）\）。
变形：通过因式分解、配方、有理化等方法对差值进行变形，使其有利于判断符号。
定号：判断差值的符号。如果差值恒大于0，则函数单调递增；如果恒小于0，则函数单调递减。
2. 导数法
求导：首先求出函数的导数 \（f'（x）\）。
分析导数：分析导数 \（f'（x）\） 在给定区间内的符号。如果导数恒大于0，则函数单调递增；如果导数恒小于0，则函数单调递减。
3. 图像法
观察图像：通过观察函数图像的上升或下降趋势来判断函数的单调性。
4. 复合函数法
确定内外函数单调性：如果函数 \（y = f[g（x）]\） 的单调性由内函数 \（u = g（x）\） 和外函数 \（y = f（u）\） 共同决定，可以使用“同增异减”的原则来判断复合函数的单调性。
5. 特殊值法
特殊值判断：通过代入特殊值来直接判断函数的单调性。
注意事项
确保在证明过程中，函数的定义域是明确的，并且所有的计算都在定义域内进行。
对于分段函数，需要特别注意在分段点处的单调性。
当导数存在但不连续时，导数法可能不适用，此时可能需要结合定义法或其他方法来证明单调性。
以上方法可以单独使用，也可以结合使用，以适应不同的情况和问题。请根据具体情况选择合适的方法进行证明