正交化是将一组线性无关的向量转化为正交向量的过程。最常用的正交化方法是施密特正交化方法。以下是施密特正交化方法的步骤：
选择一组线性无关的向量 ：设有一组线性无关的向量 $\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$。构造正交向量组
对于每一个向量 $x_i$（$i = 1, 2, \ldots, n$），构造正交向量组 $\{x_1, x_2, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_n\}$。
对于每一个 $x_i$，计算它与前面所有向量的内积，并将结果分别减去这些内积乘以相应的向量分量，得到新的向量 $u_i$。
具体步骤如下：
对于 $i = 1$，令 $u_1 = x_1$。
对于 $i = 2$，令 $u_2 = x_2 - \frac{\langle x_2, u_1 \rangle}{u_1^2} u_1$。
对于 $i = 3$，令 $u_3 = x_3 - \frac{\langle x_3, u_1 \rangle}{u_1^2} u_1 - \frac{\langle x_3, u_2 \rangle}{u_2^2} u_2$。
以此类推，直到 $u_n = x_n - \sum_{j=1}^{n-1} \frac{\langle x_n, u_j \rangle}{u_j^2} u_j$。
单位化正交向量组：
将每个正交向量 $u_i$ 除以其模长 $\sqrt{u_i^2}$，得到单位正交向量组 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$。
示例
假设有向量组 $A = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 和 $B = \begin{pmatrix} 2 \\ -8\sqrt{5}/5 \\ 1 \end{pmatrix}$，我们需要对这两个向量进行正交化。
计算内积
$\langle A, A \rangle = （-2）^2 + 1^2 + 0^2 = 5$
$\langle A, B \rangle = （-2） \cdot 2 + 1 \cdot （-8\sqrt{5}/5） + 0 \cdot 1 = -4 - 8\sqrt{5}/5$
施密特正交化
$u_1 = A = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
$u_2 = B - \frac{\langle A, B \rangle}{\langle A, A \rangle} A = \begin{pmatrix} 2 \\ -8\sqrt{5}/5 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{-4 - 8\sqrt{5}/5}{5} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4\sqrt{5}/5 \\ 1 \end{pmatrix}$
单位化
$e_1 = \frac{u_1}{\sqrt{u_1^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/\sqrt{5} \\ 1/\sqrt{5} \\ 0 \end{pmatrix}$
$e_2 = \frac{u_2}{\sqrt{u_2^2}} = \frac{1}{\sqrt{29}} \begin{pmatrix} 2 \\ 4\sqrt{5}/5 \\ 1 \end{pmatrix}$
最终得到的正交向量组为 $\{e_1, e_2\}$。
建议
施密特正交化方法适用于有限个或可列个线性无关的向量。
在实际应用中，可能需要根据具体问题选择合适的正交化方法。
正交化后的向量组可以用于进一步的分析，如求解线性方程组、计算矩阵的特征值等。